Інтегрований урок "Рівняння" - 8 клас

Тема. Рівняння.

Тип уроку. Інтегрований урок.

Навчально – виховна мета: узагальнити знання учнів про рівняння, продовжити формувати навички розв’язування лінійних, квадратних і дробово – раціональних рівнянь, сприяти вихованню всебічно розвиненої особистості, вихованню етичних норм, гуманізму, активної життєвої позиції.

Обладнання. Портрети Франсуа Вієта, Рене Декарта, Евкліда, Лобачевського, Омара Хайяма.

Хід уроку.

І. Мотивація навчальної діяльності.

Вчитель математики. Перш ніж почати урок, я пропоную вам подивитися сценку і розгадати секрет нашого уроку – його тему.

Сценка

А. Я розв’язую всі задачі тільки на «відмінно», а про рівняння й говорити нічого: лускаю як насіння.

Б. Дуже добре! А я ось цілий тиждень розв’язую рівняння 2^х = х² і ніяк не можу його розв’язати. «Лускни», будь-ласка, це рівняння.

А. Добре, давай я його дома розв’яжу. Після обіду…

Б. Чому після обіду? Ти зараз розв’яжи.

А. А ти впевнений, що це рівняння?

Б. Звичайно, впевнений.

А. А що в рівняннях треба шукати?

Б. Та ти ж лускаєш рівняння як насіння, і не знаєш? «Х» треба знайти.

А. Ех ти, бідолаха! І було б тобі над чим тиждень думати. Знайти «х», кажеш? Та ось же він! (Показує).

Вчитель математики. Отже, сьогодні на уроці мова піде про … (рівняння), ми з вами спробуємо узагальнити свої знання про ті види рівнянь, з якими вже знайомі.   

ІІ. Актуалізація опорних знань учнів.

1)                     Що таке рівняння?

2)                     Що називають коренем рівняння?

3)                     Які види рівнянь ми вже вміємо розв’язувати?

Вчитель. Згадаємо все, що ми знаємо про лінійні рівняння.

Виступи учнів.

1 учень. Рівняння виду , де і  - деякі числа, а  - змінна, називають лінійним. Лінійне рівняння може мати:

один корінь, якщо ;
жодного кореня, якщо , а ;
нескінченну множину коренів, якщо  і .

Алгоритм розв’язування рівнянь, що зводяться до лінійних:

1)                                                                                                          Розкрити дужки.

2)                                                                                                          Перенести доданки із змінною  в один бік, а числа в інший, змінивши при цьому їх знаки.

3)                                                                                                          Знайти корінь рівняння, попередньо звівши подібні доданки.

Учням пропонуються розв’язати слідуючі рівняння:

Історична довідка.

2 учень. Першим,хто описав розв’язування лінійних рівнянь, був Мухамед аль-Хорезмі, який написав трактат «Аль-Джебра і Аль-Мукабала». В перекладі на сучасну мову, термін «аль-джебр» означає перенесення доданків з однієї частини рівняння в іншу, а «аль-мукабала» - зведення подібних доданків.

Вчитель математики. Далі мова піде про квадратні рівняння.

3 учень. Рівняння виду , де  - деякі числа (), а  - змінна, називаються квадратними.

Для розв’язування квадратних рівнянь знаходимо дискримінант: .

Якщо , то рівняння має два корені;
якщо , то рівняння має один корінь;
якщо , то рівняння коренів немає.

Корені рівняння знаходимо за формулою:

.

4 учень. Якщо в рівнянні , то рівняння називають зведеним. Для розв’язування зведених квадратних рівнянь часто користуються теоремою Вієта: сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток – вільному члену.

Інколи квадратні рівняння можна розв’язувати за такими властивостями коефіцієнтів:
якщо , то корені рівняння  ;
якщо , то корені рівняння  .

Учням пропонується усно розв’язати рівняння:

( за т. Вієта)
( 5+(-11)+6=0 )
( 3-7+4=0)

5 учень. Способи розв’язування квадратних рівнянь були у вавілонян, Евкліда, Діофанта.

А щоб швидше запам’ятати формулу коренів квадратного рівняння, можна скористатися таким віршем:

Щоб знайти коренів кількість,

Дискримінант ти повинен обчислить.

Треба тільки добре постаратись:

«» квадрат мінус .

Швидко відповідь тепер ми знаходим

Мінус «» плюс-мінус  під корінь

Ділим на  - оце і всього!

До рівняння відповідь готова!

Вчитель математики. Алгоритм розв’язування дробово-раціональних рівнянь нагадаємо на конкретному прикладі:

.

1)                                                                                                          Переносимо всі доданки в ліву частину, змінюючи при цьому знаки:
.

2)                                                                                                          Зводимо дроби до спільного знаменника:
;
;
.

3)                                                                                                          Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю.

Складаємо і розв’язуємо систему:

За теоремою Вієта    і .

4)                                                                                                          Виключаємо з розв’язків ті значення змінної, які перетворюють знаменник (тобто
 число 5).

Відповідь.

Вчитель математики. Для чого треба вміти розв’язувати різні рівняння? Так, щоб з їх допомогою розв’язувати різного роду задачі.

Рівняння, як правило називають мовою алгебри, але вони допомагають розв’язувати не тільки в алгебрі, але й в інших науках, наприклад, в хімії, фізиці, біології.

Вчитель хімії. Проведемо слідуючий дослід: до 2,4 г магнію додамо сульфатну кислоту. Що ви спостерігаєте? Який газ виділився?(Водень). Складемо рівняння реакції і обчислимо, який об’єм водню виділився.
г; молярна маса магнію – 24 г/моль, об’єм 1 моля – 24,4 л
  

Рівняння реакції: .

Звідси маємо пропорцію: ;
За основною властивістю пропорції . Звідси , .

Корінь рівняння , а точки зору хімії ми знайшли об’єм водню, що виділився л.

Яке  рівняння нам потрібно було розв’язати? (Лінійне).

Вчитель фізики.

Задача. Тіло кинули вертикально вгору з початковою швидкістю 40 м/с. через скільки секунд воно буде на висоті 60 м?

м/с        м/с² – прискорення вільного падіння. Якщо не враховувати опір 
м              повітря, то висота може бути знайдена за формулою .

                    Підставляючи дані у формулу, отримаємо:

                          

За теоремою Вієта знайшли два корені рівняння. Що ж ми знайшли з точки зору фізики?

Тіло було на заданій висоті двічі: через 2 с і через 6 с після кидання.

В цій задачі нам прийшлося розв’язувати квадратне рівняння.

І накінець задача з життя.

Задача. Товарний потяг був затриманий в дорозі 12 хв і тому на перегоні 60 км наздоганяв втрачений час, збільшивши швидкість на 15 км/год. Знайти початкову швидкість потягу.

Розв’язання.

1. З умови задачі випливає, що якби потяг після зупинки в пункті В продовжував рухатися з тією самою швидкістю, то затратив би на 12 хв (12 хв=1/5 год) більше, ніж передбачено за розкладом.
2. Нехай х км/год – початкова швидкість потягу. Тоді перегін 60 км він пройшов би за  год зі швидкістю х км/год, а пройшов насправді за  год зі швидкістю  км/год. Так як він спізнився, то різниця в часі становить 1/5 год.
3. Складемо і розв’яжемо рівняння:

Обидва корені задовільняють рівняння, але -75 не задовільняє умову задачі, так як швидкість величина додатна.

Відповідь. Початкова швидкість потягу 60 км/год.

Цю задачу ми розв’язували за допомогою дробово-раціонального рівняння.

Але всі різновиди рівнянь не вичерпуються тільки цими трьома видами, які ми навчились розв’язувати.

Для математиків, які вже вміли після вавілонян, Евкліда, Аль-Хорезмі розв’язувати лінійні і квадратні рівняння, найбільшим бажанням було навчитися розв’язувати рівняння 3-го степеня – кубічні. І це бажання було зрозумілим тому,що куби – це об’єми, їх потрібно було вміти обчислювати.

Розв’язування простих кубічних рівнянь, особливо, якщо в них вдало підібрані коефіцієнти, не викликає особливих труднощів. Спробуйте знайти корінь рівняння  (.

Чи обмежуються всі види рівнянь третього степеня такими, чи можуть зустрічатися ще якісь і для їх розв’язання необхідні спеціальні прийоми?

Першим, хто чітко поставив це питання і також чітко відповів на нього, був відомий таджицький вчений і поет Омар Хайям. Про способи розв’язування кубічних рівнянь ми поговоримо пізніше, а сьогодні про людину, яка запропонувала один із способів розв’язування цих рівнянь, нам розповість вчитель зарубіжної літератури.

Вчитель зарубіжної літератури. Повне ім’я цієї людини складається з багатьох слів: Хайям Омар Гіяседін Абу-ль Фахт ібн Ібрагім. Стільки ж, а може і більше, граней у його таланту. В молодості він захоплювався астрономією і математикою, пізніше в ньому прокинувся талант до географії. Філософії, поезії.

Його книга «Про доведення задач алгебри і ал- мукабали» містила майже всі алгебраїчні знання на той час. В ній дається класифікація рівнянь і пояснюється розв’язування рівнянь першого, другого і третього степеня, підтверджується, що алгебра – наука про знаходження невідомих з допомогою рівнянь.

В сучасному світі Омар Хайям відомий, як поет, який створив оригінальні філософсько-ліричні вірші, що об’єднані в збірник «Рубайат» (Рубаї – одна із самих важких жанрових форм).

Послухаємо деякі з них:

1. Чтоб мудро жизнь прожить, знать надобно немало:
Два важных   правила запомни для начала:
Ты лучше голодай, чем что попало есть,
И лучше будь один, чем рядом с кем попало.

2. Живи праведно, будь тем доволен, что есть,
Живи вольно, храни свободу и честь,
Не горюй, не завидуй тому, кто богаче.
Кто беднее тебя, тех на свете не счесть.

3. Не смотри, что иной выше всех по уму,
А смотри, верен слову ли он своему:
Если слов он своих не бросает на ветер -
Нет цены, как ты сам понимаешь, ему.

4. И с другом, и с врагом ты должен быть хорош.
Кто по натуре добр, в том злобы не найдешь.
Обидишь друга – наживешь врага ты,
Врага обнимешь – друга обретешь!

Вчитель математики. Я дуже вдячна вчителям, які допомогли мені підготувати і провести цей урок, учням, які добре підготувалися до нього. Чого ж ми досягли?

ІІІ. Підсумок уроку.

1. Узагальнили знання про рівняння.
2. Розглянули застосування рівнянь в інших науках.
3. В черговий раз впевнилися, що математика, як і інша наука, не розвивається сама по собі, всі відкриття в ній творять люди.

Так, наприклад, свій вклад в розвиток вчення про рівняння внесли Евклід, Діофант, Аль-Хорезмі, Омар Хайям, Франсуа Вієт і інші вчені. І люди ці не були замкнуті лише на математиці, вони були високо освічені і всебічно розвинені, до чого повинна прагнути кожна людина.

Переглянути оригінал